问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=
-2bx，f′(2)=a x
-4b，f（2）=aln2-4b．a 2
∴
-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．a 2
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，
则h/(x)=
-2x=2 x
，2(1-x2) x
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[
， e]内，1 e
当x∈[
，1)时，h′（x）＞0，1 e
∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[
，e]内有两个不等实根的充要条件是：1 e
h(
)≤01 e h(1)＞0 h(e) ≤ 0.
即1＜m≤2+
．2 e2
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x2-kx，g/(x)=
-2x-k．2 x
假设结论成立，则有：
2lnx1-x12-kx1=0 ① 2lnx2-x22-kx2=0 ② x1+x2=2x0 ③
-2x0-k=02 x0 ④
①-②，得2ln
-(x12-x22)-k(x1-x2)=0．x1 x2
∴k=2
-2x0．ln x1 x2 x1-x2
由④得k=
-2x0，2 x0
∴
=ln x1 x2 x1-x2 1 x0
即
=ln x1 x2 x1-x2
，即ln2 x1+x2
=x1 x2
．⑤2
-2x1 x2
+1x1 x2
令t=
，u(t)=lnt-x1 x2
（0＜t＜1），2t-2 t+1
则u′(t)=
＞0．(t-1)2 t(t+1)2
∴u（t）在0＜t＜1上增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴g'（x0）≠0．