①由二次函数y=mx²-x-m+1（m≠0），得

y=[m（x+1）-1]（x-1）；

令y=0，则m（x+1）-1=0或x-1=0，即x₁=

1-m

m

，x₂=1，

所以该函数经过点（

1-m

m

，0）、（1，0），

∴无论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；

故本选项正确；

②若m＜0时，AB=|x₂-x₁|=|1-

1-m

m

|=|2-

1

m

|＞|2|=2，即AB＞2；故本选项正确；

③根据题意，得

y=m³-2m+1=（m-1）（m²+m-1）（m≠0），

∵m²＞0，

∴m²+m-1＞m-1，

当m-1≤0，即m≤1时，

（m-1）（m²+m-1）≤（m-1）²，

∵（m-1）²≥0，

∴（m-1）（m²+m-1）≤0或（m-1）（m²+m-1）≥0，

即y≤0或y≥0；

故本选项错误；

④当m＞1时，x₁=

1-m

m

＜0＜x₂，且抛物线该抛物线开口向上，

∴当x＞1时，该函数在区间[1，+∞）上是增函数，即y随x的增大而增大．

故本选项正确；

综上所述，正确的说法有①②④．

故答案是：①②④．