问题
解答题
设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有两个不等的实根}
答案
（1）∵f（x）是以2为周期的函数，
∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．
又∵当x∈Ik时，（x-2k）∈I0，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）2．
即对k∈Z，当x∈Ik时，f（x）=（x-2k）2．
（2）当k∈Z且x∈Ik时，
利用（1）的结论可得方程（x-2k）2=ax，整理得：x2-（4k+a）+4k2=0．
它的判别式是△=（4k+a）2-16k2=a（a+8k）．
上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足a(a+8k)＞0 2k-1＜
[4k+a-1 2
]a(a+8k) 2k+1≥
[4k+a+1 2
]a(a+8k)
化简得a(a+8k)＞0，(1)
＜2+a，(2)a(a+8k)
≤2-a，(3)a(a+8k)
由（1）知a＞0，或a＜-8k．
当a＞0时：因2+a＞2-a，故从（2），（3）
可得
≤2-a，即a(a+8k) a(a+8k)≤(2-a)2 2-a＞0
当a＜-8k时：2+a＜2-8k＜0，
易知
＜2+a无解，a(a+8k)
综上所述，a应满足0＜a≤
故所求集合Mk={a|0＜a≤1 2k+1
}1 2k+1