已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3

问题解答题

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3，

因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，

所以x=1和x=3是f′（x）=0的两个根，…（2分）

∴

1+3=-

1×3=-

即

a=-

b=2

，∴f(x)=-

x3+2x2-3x…（5分）

（Ⅱ）g′（x）=-x²+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）

当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：

由上表可知：g（x）_极大值=g（3）=t；g(x)极小值=g(1)=t-

…（9分）

∵g(x)=-

x3+2x2-3x+t=-

x(x-3)2+t，∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）＞0，…（10分）

因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，

必有：g（x）_极大值=g（3）=t=0，或g(x)极小值=g(1)=t-

=0 ，∴t=0或t=

所以存在t且t=0，或t=

…（12分）