（Ⅰ）f'（x）=3x²+2bx+c，…（1分）

由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，

知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）

∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）

（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x²+2bx=0，∴x1=0，x2=-

2

3

b(b＜0)．…（4分）

∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，

∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）

则m=0，n=-

2

3

b(b＜0)．…（6分）

又f(0)=-b，f(-

2

3

b)=

4

27

b3-b

若f（x）在[0，-

2

3

b]上存在零点．

∵f（0）=-b＞0，

则f(-

2

3

b)=

4

27

b3-b≤0．…（7分）

∵b＜0，∴

4

27

b2≥1，b2≥

27

4

，∴b≤-

3 3

2

．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，

得x1=0，x2=-

2

3

b(b＜0)．

∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）

∴2≤-

2

3

b≤4，

即-6≤b≤-3．…（10分）

假设存在点M（x₀，y₀）使得f（x）在M处切线斜率为2b，

则f'（x₀）=2b，即3x²₀+2bx₀-2b=0，…（11分）

△=4b²+24b=4（b²+6b）=4（b+3）²-3b，

∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）

当b=-6时，△=0，

由3x02-12x0+12=0得x0=2，

故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）