（本题满分16分）

（1）（i）当a=d=-1，b=c=0时，f（x）=x⁴-x³-1

∴f'（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），

所以x=

3

4

是使f（x）取到最小值的唯一的值，且在区间(-∞，

3

4

)上，函数f（x）单调递减；

在区间(

3

4

，+∞)上，函数f（x）单调递增．

因为f(

3

4

)＜0，f（-1）＞0，f（2）＞0，

所以f（x）的图象与x轴恰有两个交点． …（4分）

（ii）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，

且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q）．

于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1．（*）

分别比较（*）式中常数项和含x³的项的系数，得nq=-1，p-m=-1，

解得q=-

1

n

，p=m-1．

所以x⁴-x³-1=(x2-mx+n)[x2+(m-1)x-

1

n

]．①

分别比较①式中含x和x²的项的系数，得

m

n

+n(m-1)=0，…②，

-

1

n

+n-m(m-1)=0，③

②×m+③×n得-n+n³+m²=0，即n-n³=m²．…（10分）

∴m²=n-n³．

（2）方程化为：x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，

令t=x+

1

x

，方程为t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有绝对值不小于2的实根．

设g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），

当-

a

2

＜-2，即a＞4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；

当-

a

2

＞2，即a＜-4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；

当-2≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤4时，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，

即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，此时a2+b2≥

4

5

．

∴a²+b²的最小值为

4

5

．…（16分）