问题 解答题
已知f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(I)若k=2,求方程f(x)=0的解;
(II)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明
1
x1
+
1
x2
<4
答案

(Ⅰ)(1)当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+kx

①当x2-1≥0时,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x2+2x-1=0

解得x=

-1±
3
2
,因为0<
-1+
3
2
<1
,故舍去,所以x=
-1-
3
2

②当x2-1<0时,-1<x<1时,方程化为2x+1=0

解得x=-

1
2

由①②得当k=2时,方程f(x)=0的解所以x=

-1-
3
2
x=-
1
2

(II)不妨设0<x1<x2<2,

因为f(x)=

2x2+kx-1,|x|>1
kx+1,|x|≤1

所以f(x)在(0,1]是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多一个解,

若1<x1<x2<2,则x1x2=-

1
2
<0,故不符题意,因此0<x1≤1<x2<2.

由f(x1)=0得k=-

1
x1
,所以k≤-1;

由f(x2)=0得k=

1
x2
-2x2,所以-
7
2
<k<-1

故当-

7
2
<k<-1时,方程f(x)=0在(0,2)上有两个解.

当0<x1≤1<x2<2时,k=-

1
x1
,2x22+kx2-1=0

消去k得2x1x22-x1-x2=0

1
x1
+
1
x2
=2x2,因为x2<2,所以
1
x1
+
1
x2
<4

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