问题
解答题
已知f(x)=|x2-1|+x2+kx. (I)若k=2,求方程f(x)=0的解; (II)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明
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答案
(Ⅰ)(1)当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+kx
①当x2-1≥0时,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x2+2x-1=0
解得x=
,因为0<-1± 3 2
<1,故舍去,所以x=-1+ 3 2
.-1- 3 2
②当x2-1<0时,-1<x<1时,方程化为2x+1=0
解得x=-1 2
由①②得当k=2时,方程f(x)=0的解所以x=
或x=--1- 3 2
.1 2
(II)不妨设0<x1<x2<2,
因为f(x)=2x2+kx-1,|x|>1 kx+1,|x|≤1
所以f(x)在(0,1]是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多一个解,
若1<x1<x2<2,则x1x2=-
<0,故不符题意,因此0<x1≤1<x2<2.1 2
由f(x1)=0得k=-
,所以k≤-1;1 x1
由f(x2)=0得k=
-2x2,所以-1 x2
<k<-1;7 2
故当-
<k<-1时,方程f(x)=0在(0,2)上有两个解.7 2
当0<x1≤1<x2<2时,k=-
,2x22+kx2-1=01 x1
消去k得2x1x22-x1-x2=0
即
+1 x1
=2x2,因为x2<2,所以1 x2
+1 x1
<4.1 x2