问题 解答题
已知函数fn(x)=x3-nx-1(x>0,n∈N*).
(Ⅰ)求函数f3(x)的极值;
(Ⅱ)判断函数fn(x)在区间(
n
n+1
)
上零点的个数,并给予证明.
答案

(Ⅰ)∵f3(x)=x3-3x-1,∴f3(x)=3x2-3

∵当x>1时,f3(x)>0;当0<x<1时,f3(x)<0

∴当x=1时,f3(x)取得极小值-3,无极大值;

(Ⅱ)函数fn(x)在区间(

n
n+1
)上有且只有一个零点.

证明:

fn(

n
)=(
n
)3-n
n
-1=-1<0,

fn(

n+1
)=(
n+1
)3-n
n+1
-1=
n+1
-1>0,

fn(

n
)•fn(
n+1
)<0,∴函数fn(x)在区间(
n
n+1
)
上必定存在零点.

fn(x)=3x2-n,∴当x∈(

n
n+1
)时,fn(x)>3(
n
)2-n=2n>0

∴fn(x)在区间(

n
n+1
)上单调递增,

∴函数fn(x)在区间(

n
n+1
)上的零点最多一个.

综上知:函数fn(x)在区间(

n
n+1
)上存在唯一零点.

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