问题
解答题
| 已知函数fn（x）=x3-nx-1（x＞0，n∈N*）． （Ⅰ）求函数f3（x）的极值； （Ⅱ）判断函数fn（x）在区间(
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答案
（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵当x＞1时，f3′(x)＞0；当0＜x＜1时，f3′(x)＜0．
∴当x=1时，f3（x）取得极小值-3，无极大值；
（Ⅱ）函数fn（x）在区间(
，n
)上有且只有一个零点．n+1
证明：
∵fn(
)=(n
)3-nn
-1=-1＜0，n
fn(
)=(n+1
)3-nn+1
-1=n+1
-1＞0，n+1
fn(
)•fn(n
)＜0，∴函数fn（x）在区间(n+1
，n
)上必定存在零点．n+1
∵fn′(x)=3x2-n，∴当x∈(
，n
)时，fn′(x)＞3(n+1
)2-n=2n＞0，n
∴fn（x）在区间(
，n
)上单调递增，n+1
∴函数fn（x）在区间(
，n
)上的零点最多一个．n+1
综上知：函数fn（x）在区间(
，n
)上存在唯一零点．n+1