问题
解答题
已知函数fn(x)=x3-nx-1(x>0,n∈N*). (Ⅰ)求函数f3(x)的极值; (Ⅱ)判断函数fn(x)在区间(
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答案
(Ⅰ)∵f3(x)=x3-3x-1,∴f3′(x)=3x2-3,
∵当x>1时,f3′(x)>0;当0<x<1时,f3′(x)<0.
∴当x=1时,f3(x)取得极小值-3,无极大值;
(Ⅱ)函数fn(x)在区间(
,n
)上有且只有一个零点.n+1
证明:
∵fn(
)=(n
)3-nn
-1=-1<0,n
fn(
)=(n+1
)3-nn+1
-1=n+1
-1>0,n+1
fn(
)•fn(n
)<0,∴函数fn(x)在区间(n+1
,n
)上必定存在零点.n+1
∵fn′(x)=3x2-n,∴当x∈(
,n
)时,fn′(x)>3(n+1
)2-n=2n>0,n
∴fn(x)在区间(
,n
)上单调递增,n+1
∴函数fn(x)在区间(
,n
)上的零点最多一个.n+1
综上知:函数fn(x)在区间(
,n
)上存在唯一零点.n+1