(Ⅰ) (1)当k>0时,因为f(x)=kx在(0,+∞)上单调递增,…(1分)
所以g(x)=-1在(0,+∞)上单调递增.
但在(0,+∞)上g′(x)=-=-<0,所以不符合已知;…(3分)
(2)因为在(0,+∞)上g′(x)=-=-<0,所以g(x)=-1在(0,+∞)上单调递减.
所以f(x)=kx在(0,+∞)上单调递减,则k<0,即 k的取值范围是(-∞,0).…(6分)
(Ⅱ)因为f(x)=g(x)⇔kx3+x2-t=0. …(7分)
设h(x)=kx3+x2-t,所以h′(x)=3kx2+2x=0⇒x=0或-.
因为k>0,所以h(x)在(-∞,-)↑,(-,0)↓,(0,+∞)↑,
而h(0)=-t<0,所以h(x)=0在[1,5]上至多一个实数根,在[-5,-1]上至多
有二个实数根. …(9分)
(1)由于k>0,要能找到t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[1,5]上有且仅有一个实数根,必须存在t∈[1,2],使得:⇔⇔0<k≤1; …(11分)
(2)因为“能找到t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[-5,-1]上至多有一个实数
根”的反面是“对任意的t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[-5,-1]上恰有
二个实数根”,即反面⇔对任意的t∈[1,2],下列不等式组成立. | -5≤-≤-1 | h(-5)≤0 | h(-1)≤0 | h(-)>0 |
| |
⇔≤k<.…(13分)
因为k>0,所以,“能找到t∈[1,2],使得关于x的方程h(x)=0在[-5,-1]上至
多有一个实数根”⇔0<k<或≤k<+∞.…(14分)
由(1)(2)同时成立得:0<k<或≤k≤1.
所以,存在正实数k符合要求,所有k的值的集合为:
{k|0<k<或≤k≤1}. …(15分)
(直接讨论、或讨论函数f(x)=kx,g(x)=-1的图象的关系或变量分离转化
为三次函数讨论,请酌情给分)