问题 解答题
设函数f(x)=(x+a)lnx-x+a.
(Ⅰ)设g(x)=f'(x),求g(x)函数的单调区间;
(Ⅱ)若a≥
1
e
,试研究函数f(x)=(x+a)lnx-x+a的零点个数.
答案

(Ⅰ)g(x)的定义域是(0,+∞)∵g(x)=f'(x)=

a
x
+lnx,

∴g'(x)=-

a
x2
+
1
x
=
x-a
x2
,…(2分)

(1)当a≤0时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,

故g(x)单调区间是(0,+∞)…(4分)

(2)当a>0时,g'(x)>0,∴g(x)在(a,+∞)上单调递增,

再由g'(x)<0得g(x)在(0,a)上单调递减.

g(x)的单调区间是(0,a)与(a,+∞)…(7分)

(Ⅱ)由题(Ⅰ)知,g(x)在x=a时取到最小值,且为g(a)=

a
a
+lna=1+lna.…(9分)

∵a≥

1
e
,∴lna≥-1,∴g(a)≥0.

∴f'(x)≥g(a)≥0.f(x)在(0,+∞)上单调递增,…(11分)

∵f(e)=(e+a)lne-e+a=2a>0,f(

1
e
)=(
1
e
+a)ln
1
e
-
1
e
+a=-
2
e
<0,,

f(x)在(

1
e
,e)内有零点.…(13分)

故函数f(x)=(x+a)lnx-x+a的零点个数为1.…(14分)

解答题
单项选择题