问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0． （1）试比较
（2）求实数b 的取值范围； （3）当c＞1，t＞0时，求证：
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答案
（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点
∴f（x）=0有两个不同的实数根x1，x2
∵f（c）=0∴c是方程f（x）=0的一个根，不妨设x1=c
∵x1x2=
，∴x2=c a
∴1 a
≠c1 a
假设
＜c又 1 a
＞01 a
由0＜x＜c时，f（x）＞0与f(
)=0矛盾1 a
∴
＞c1 a
（2）∵f（c）=0∴ac+b+1=0∴b=-1-ac
由（1）0＜ac＜1，∴-2＜-1-ac＜-1
∴-2＜b＜-1
（3）原不等式化简为
＞0(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c t(t+1)(t+2)
∵t＞0
∴要证原不等式成立⇔即证g（t）=（a+b+c）t2+（a+2b+3c）t+2c＞0
∵c＞1＞0∴f（1）＞0即a+b+c＞0
又-2＜b＜-1
∴a+2b+3c=（a+b+c）+（b+2c）＞b+2c＞b+2＞0
∴二次函数g（t）的对称轴 t=-
＜0a+2b+3c 2(a+b+c)
由此可见g（t）在[0，+∞）上是增函数
∴t＞0时，g（t）＞g（0）＞0
∴原不等式成立．