（1）∵f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，

p（x）在（0，3）上有零点，

∴p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零点．

∴△=（4k²-8k+4）-12k-60≥0，解得 k≤-2，或 k≥7．

若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）=（k+5）（7k+26）＜0 ①，

或

△＞0 P(0)=0 P(3)＞0

 ②，或

△＞0 P(0)＞0 P(3)=0

③，或

P(0)＞0 P(3)＞0 △=0

 ④．

解①得-

26

7

＜k＜-5，解②得k∈∅，解③得k=-

26

7

，解④可得 k=-2，或k=7．

若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有

△＞0 p(0)＞0 P(3)＞0 0＜ 1-k 3 ＜3

，解得-

26

7

＜k≤-2．

综上所述，实数k的取值范围为[-

26

7

，-2]．

（2）函数q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

，

即q（x）=

2k2x+k，x≥0 3x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0

．

显然，k=0不满足条件，故k≠0．

当x≥0时，q（x）=2k²x+k∈[k，+∞）．

当x＜0时，q（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5∈（5，+∞）．

记A=[k，+∞），B∈（15，+∞）．

①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，

要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A⊆B，故k≥5；

②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，

要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B⊆A，故k≤5；

综上可得，k=5满足条件．

故存在k=5，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）．