（I）由题意得，g′（x）=ax²+x，

∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，

∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-

1

2

，即g′（1）=a+1=-

1

2

，

解得a=-

3

2

，

（II）由（I）得，f（x）=g′（x）e^x=（ax²+x）e^x，

则f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，

∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，

∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立，

即ax²+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，

当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）

②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，

因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，

因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．

若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，得-

2

3

≤a＜0，

综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]，

（III）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等价于ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，

因为h′（x）=ex+

2

x2

＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，

所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）

又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，

所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，

所以整数k的所有值为{-3，1}．