问题
解答题
| 已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M．请判断函数g(x)=
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答案
（1）由f（0）=1得c=1．
又当x=-1时，f（x）取得极大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)=3ax2+b，
，f′(-1)=3a+b=0 f(-1)=-a-b+1=3
得a=1，b=-3
∴f（x）=x3-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1时取得极值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)=
=x2+f(x) x
-3，g′(x)=2x-1 x
，1 x2
∴当x∈M时，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上递减．
又g(-2)=
，g(-1)=-31 2
∴函数g(x)=
，x∈M的零点有且仅有1个．f(x) x