（1）∵二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，

∴n-1≠0，△=4m²-4（n-1）=0．

∴m²=n-1≠0．

又∵m²≥0，∴n-1＞0．

∴这个函数图象的开口方向向上．

（2）∵m²≠0，

∴这个函数是二次函数．△=4（n-1）²+4m²．

∵m²=n-1≠0，∴（n-1）²＞0，m²＞0．

∴△＞0．

∴函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．

（3）由题意，得x1+x2=-

2(n-1)

m2

，x1x2=-

1

m2

．

∵m²=n-1，∴x1+x2=-

2(n-1)

m2

=-2．

而AB=|x₁-x₂|，点C的坐标为（0，-1）．

∴

1

2

|x1-x2|×1=2．

∴|x₁-x₂|=4．

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2+

4

m2

=16．

∴m2=

1

3

．

∴n-1=

1

3

．

∴所求的函数解析式为y=

1

3

x2+

2

3

x-1．