问题
选择题
已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+
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答案
由于函数g(x)=f(x)+
，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，1 x
故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．
由于当x≠0时，f′(x)+
＞0，f(x) x
①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
）＞0，f(x) x
所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．
又∵
[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，lim x→0
因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．
②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
）＜0，f(x) x
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上无零点．
综上可得，函g(x)=f(x)+
在R上的零点个数为0，1 x
故选C．