（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，对称轴为直线x=-1，

∵与x轴有且只有一个公共点，

∴顶点的纵坐标为0，

∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；

（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，

把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0，得k=-4，

∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），

由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；

（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，

当n≥-1时，

∵y₁＞y₂，

∴n＞2．

当n＜-1时，P（n，y₁）的对称点坐标为（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，

∵y₁＞y₂，

∴-2-n＞2，

∴n＜-4．

综上所述：n＞2或n＜-4．