问题
解答题
已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．
答案
（1）函数f（x）=ax3-x2+1的导数为：
f′（x）=3ax2-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x1=0，x2=
＞0 （a＞0）2 3a
不等式f′（x）＜0的解集是（0，
），2 3a
∴当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间是（0，
）2 3a
（2）当a＞0时，由（1）可得函数f（x）=ax3-x2+1在（-∞，0）和（
，+∞）上为增函数，2 3a
在（0，
）上为减函数，而方程f（x）=0有三个不同的解2 3a
∴f（0）＞0且f(
) ＜0，解之得a∈(0，2 3a
)2 3 9
同理，得到当a＜0时，使方程f（x）=0有三个不同的解的a∈(-
，0)2 3 9
综上所述，得到符合题意的a的取值范围是：a∈(-
，0)∪(0，2 3 9
)2 3 9