（1）证明：g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）＞g（1）=0

∴x＞1时，g（x）＞0恒成立．

（2）f（x）=lnx-ax的定义域是（0，+∞），f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，

由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，

∴f（x）在(0，

1

a

)上递增，在(

1

a

，+∞)上递减．

∴f(x)≤f(

1

a

)=-lna-1，欲使函数f（x）无零点，则只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴a＞

1

e

．

故所求a的范围是(

1

e

，+∞)．

（3）因为f（x）有两个相异的零点，又由于x＞0，

故不妨令x₁＞x₂＞0，且有lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），

要证x1x2＞e2⇔ln(x1x2)＞2⇔lnx1+lnx2＞2⇔a＞

2

x1+x2

⇔

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

⇔lnx1-lnx2＞

2(x1-x2)

x1+x2

⇔ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

令t=

x1

x2

，则t＞1，故只要证明lnt＞

2(t-1)

t+1

，t＞1时恒成立，

而由（1）知t＞1时，lnt-

2(t-1)

t+1

＞0恒成立，即lnt＞

2(t-1)

t+1

恒成立，从而证明x1x2＞e2．

故x₁x₂＞e²．