问题
解答题
已知函数f(x)=ax+
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值； （2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立； |
答案
（1）因为f′(x)=a-
，所以f′(3)=a-b (x-1)2
=b 4
，b=2（2分）2a-1 2
又g(x)=f(x+1)=ax+
.2 x
设g（x）图象上任意一点P（x0，y0），因为g′(x)=a-
，2 x2
所以切线方程为y-(ax0+
)=(a-2 x0
)(x-x0).（4分）2 x20
令x=0，得y=
；再令y=ax，得x=2x0，4 x0
故三角形面积S=
•|1 2
|•|2x0|=4，即三角形面积为定值．（6分）4 x0
（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+
-12 x-1
假设存在m，k满足题意，则有x-1+
+m-x-1+2 x-1
=k，2 m-x-1
化简，得
=k+2-m对定义域内任意x都成立，（8分）2(m-2) (x-1)(m-x-1)
故只有
解得m-2=0 k+2-m=0. m=2 k=0.
所以存在实数m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k对定义域内的任意x都成立．（12分）．