（I）函数f（x）=e^x的反函数为g（x）=lnx，

∵g′(x)=

1

x

，∴g^′（1）=1，

∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1；

（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)=ex-

1

2

x2-x-1，

则h^′（x）=e^x-x-1，

h^′′（x）=e^x-1，

当x＞0时，h^′′（x）＞0，h^′（x）单调递增；当x＜0时，h^′′（x）＜0，h^′（x）单调递减，

故h^′（x）在x=0取得极小值，即最小值，

∴h^′（x）≥h^′（0）=0，

∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，

而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．

所以曲线y=f（x） 与曲线y=

1

2

x2+x+1有唯一公共点（0，1）．

（Ⅲ） 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，

令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g^′（x）=1+（x-1）e^x．

g^′′（x）=xe^x＞0，∴g^′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g^′（0）=0，

∴g^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．

∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，

∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，

即当a＜b时，f(

a+b

2

)＞

f(b)-f(a)

b-a

．