（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x³+x²+b，

因为f（-1）=b+2＞b，

所以，函数f（x）的图象不能总在直线y=b的下方．

（Ⅱ）法一、

由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，

令f^′（x）=-3x²+2ax=0，解得x=0或x=

2

3

a，

①当a＜0时，由f^′（x）＞0，解得

2

3

a＜x＜0，

所以f（x）在(

2

3

a，0)上是增函数，与题意不符，舍去；

②当a=0时，由f^′（x）=-3x²≤0，

所以f（x）在R上是减函数，与题意不符，舍去；

③当a＞0时，由f^′（x）＞0，解得0＜x＜

2

3

a，

所以f（x）在(0，

2

3

a)上是增函数，

又f（x）在（0，2）上是增函数，所以

2

3

a≥2，解得a≥3，

综上，a的取值范围为[3，+∞）．

法二、

由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，

要使函数f（x）在（0，2）上是增函数，

则需f^′（x）=-3x²+2ax≥0对任意x∈（0，2）恒成立，

即2ax≥3x²对任意x∈（0，2）恒成立，

也就是a≥

3

2

x对任意x∈（0，2）恒成立，

因为y=

3

2

x在x∈（0，2）上为增函数，所以a≥

3

2

×2=3．

所以，a的取值范围为[3，+∞）．

（Ⅲ）证明：因为方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3个根，

由题意，方程在区间（-1，0）内仅有一根，

所以f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0，

方程在区间（0，1）内仅有一根，

所以f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，

当b＞0时，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＜-b-1，

由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＜-b+1，

因为-b-1＜-b+1，所以a＜-b-1＜-1，即a＜-1；

当b＜0时，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＞-b-1，

由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＞-b+1，

因为-b-1＜-b+1，所以a＞-b+1＞1，即a＞1；

当b=0时，因为f（0）=0，所以f（x）=0有一根0，

这与题意不符．

∴a＞1或a＜-1．