已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ) 讨论f(x)在区间(0,e)上的单调情况;
(Ⅲ)试推断方程|2x(x-lnx)|=2lnx+x是否有实数解.若有实数解,请求出它的解集.
(Ⅰ) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+=…(1分)
当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数…(3分)
∴f(x)max=f(1)=-1…(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=a+,x∈(0,e),∈(,+∞)…(5分)
①若a≥-,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,e)上增函数…(6分)
②若a<-,则由f′(x)>0⇒a+>0,即0<x<-
由f′(x)<0⇒a+<0,即-<x<e.…(7分)
∴f(x)在(0,-)上增函数,在(-,e)为减函数…(8分)
综合上面得:当a≥-时,f(x)在(0,e)上增函数;当a<-时,f(x)在(0,-)上增函数,在(-,e)为减函数.
(Ⅲ)|2x(x-lnx)|=2lnx+x⇔|x-lnx|=+…(9分)
由(Ⅰ)知当a=-1时f(x)max=f(1)=-1,即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…(10分)
又令g(x)=+,g′(x)=,
令g′(x)>0,得0<x<e;令g′(x)<0,得x>e
∴g(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞)
∴g(x)max=g(e)=+<1,∴g(x)<1…(12分)
∴|x-lnx|>g(x),即|x-lnx|>+…(13分)
∴方程|x-lnx|=+即方程|2x(x-lnx)|=2lnx+x没有实数解.…(14分)