问题 解答题

已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.

(Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值;

(Ⅱ) 讨论f(x)在区间(0,e)上的单调情况;

(Ⅲ)试推断方程|2x(x-lnx)|=2lnx+x是否有实数解.若有实数解,请求出它的解集.

答案

(Ⅰ) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+

1
x
=
1-x
x
…(1分)

当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数…(3分)

∴f(x)max=f(1)=-1…(4分)

(Ⅱ)∵f′(x)=a+

1
x
,x∈(0,e),
1
x
(
1
e
,+∞)
…(5分)

①若a≥-

1
e
,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,e)上增函数…(6分)

②若a<-

1
e
,则由f′(x)>0⇒a+
1
x
>0,即0<x<-
1
a

由f′(x)<0⇒a+

1
x
<0,即-
1
a
<x<e.…(7分)

∴f(x)在(0,-

1
a
)上增函数,在(-
1
a
,e)
为减函数…(8分)

综合上面得:当a≥-

1
e
时,f(x)在(0,e)上增函数;当a<-
1
e
时,f(x)在(0,-
1
a
)
上增函数,在(-
1
a
,e)
为减函数.

(Ⅲ)|2x(x-lnx)|=2lnx+x⇔|x-lnx|=

lnx
x
+
1
2
…(9分)

由(Ⅰ)知当a=-1时f(x)max=f(1)=-1,即-x+lnx≤-1

∴|x-lnx|≥1…(10分)

又令g(x)=

lnx
x
+
1
2
,g′(x)=
1-lnx
x2

令g′(x)>0,得0<x<e;令g′(x)<0,得x>e

∴g(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞)

∴g(x)max=g(e)=

1
e
+
1
2
<1,∴g(x)<1…(12分)

∴|x-lnx|>g(x),即|x-lnx|>

lnx
x
+
1
2
…(13分)

∴方程|x-lnx|=

lnx
x
+
1
2
即方程|2x(x-lnx)|=2lnx+x没有实数解.…(14分)

单项选择题
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