（Ⅰ） 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

…（1分）

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）

∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）

（Ⅱ）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e），

1

x

∈(

1

e

，+∞)…（5分）

①若a≥-

1

e

，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）

②若a＜-

1

e

，则由f′（x）＞0⇒a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0⇒a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x＜e．…（7分）

∴f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数…（8分）

综合上面得：当a≥-

1

e

时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜-

1

e

时，f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数．

（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x⇔|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

…（9分）

由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1

∴|x-lnx|≥1…（10分）

又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，

令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e

∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）

∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1…（12分）

∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

x

+

1

2

…（13分）

∴方程|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）