（1）f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a

列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	-3a2+a	递减	-4a3-3a2+a	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．

（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．

f（0）=-3a²+a，f（2a）=-4a³-3a²+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，

∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a²+a）（-4a³-3a²+a）≤0

∴a²（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0

∵a＞0

∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得

1

4

≤a≤

1

3

故实数a的取值范围是[

1

4

，

1

3

]．