问题 解答题

已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.

(Ⅰ)当a=2时,求使f(x)≥x成立的x的集合;

(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.

答案

(Ⅰ)由题意,f(x)=x|x-a|.…(1分)

当x<2时,f(x)=x(2-x)≥x,解得x∈[0,1]; …(2分)

当x≥2时,f(x)=x(x-2)≥x,解得x∈[3,+∞); …(3分)

综上,所求解集为x∈[0,1]∪[3,+∞); …(4分)

(Ⅱ)①当a≤1时,在区间[1,2]上,f(x)=x2-ax=(x-

a
2
2-
a2
4
,其图象是开口向上的抛物线,对称轴是x=
a
2

∵a≤1,∴

a
2
1
2
<1,

∴f(x)min=f(1)=1-a…(6分)

②当1<a<2时,在区间[1,2]上,f(x)=x|x-a|≥0,

f(x)min=0…(8分)

③当a≥2时,在区间[1,2]上,f(x)=-x2+ax=-(x-

a
2
2+
a2
4

其图象是开口向下的抛物线,对称轴是x=

a
2

1° 当1≤

a
2
3
2
即2≤a<3时,f(x)min=f(2)=2a-4…(10分)

2° 当

a
2
3
2
即a≥3时,f(x)min=f(1)=1-a

∴综上,f(x)min=

1-a,a≤1
0,1<a<2
2a-4,2≤a<3
1-a,a≥3
…(12分)

选择题
单项选择题 A1型题