问题
解答题
已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.
(Ⅰ)当a=2时,求使f(x)≥x成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
答案
(Ⅰ)由题意,f(x)=x|x-a|.…(1分)
当x<2时,f(x)=x(2-x)≥x,解得x∈[0,1]; …(2分)
当x≥2时,f(x)=x(x-2)≥x,解得x∈[3,+∞); …(3分)
综上,所求解集为x∈[0,1]∪[3,+∞); …(4分)
(Ⅱ)①当a≤1时,在区间[1,2]上,f(x)=x2-ax=(x-
)2-a 2
,其图象是开口向上的抛物线,对称轴是x=a2 4
,a 2
∵a≤1,∴
≤a 2
<1,1 2
∴f(x)min=f(1)=1-a…(6分)
②当1<a<2时,在区间[1,2]上,f(x)=x|x-a|≥0,
f(x)min=0…(8分)
③当a≥2时,在区间[1,2]上,f(x)=-x2+ax=-(x-
)2+a 2
,a2 4
其图象是开口向下的抛物线,对称轴是x=
,a 2
1° 当1≤
<a 2
即2≤a<3时,f(x)min=f(2)=2a-4…(10分)3 2
2° 当
≥a 2
即a≥3时,f(x)min=f(1)=1-a3 2
∴综上,f(x)min=
…(12分)1-a,a≤1 0,1<a<2 2a-4,2≤a<3 1-a,a≥3