问题 解答题
已知函数f(x)=2x,g(x)=
1
2|x|
+2

(1)求函数 g(x)的值域;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点.
(3)当x<0时,解不等式f(x)+g(x)>3.
答案

(1)∵函数 g(x)=

1
2|x|
+2,而 2|x|≥1,∴2<
1
2|x|
+2
≤3,

故函数 g(x)的值域为(2,3].

(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=2x-

1
2|x|
-2,当x≥0时,h(x)=2x-
1
2x
-2.

令 h(x)=0 可得22x-2•2x-1=0,解得 2x=1+

2
,或 2x=1-
2
(舍去),故x=log2(1+
2
)

当x<0时,h(x)=-2,故h(x)无零点.

综上,函数h(x)的零点是 x=log2(1+

2
).

(3)当x<0时,0<2x<1,不等式f(x)+g(x)>3,即 2x+

1
2-x
+2>3,即 22x+2x-1>0.

解得 2x

-1-
5
2
(舍去),或 2x
-1+
5
2

综合可得,1>2x

-1+
5
2
,故有0>x>log2
-1+
5
2
,故不等式的解集为{x|0>x>log2
-1+
5
2
}.

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