问题
解答题
设函数f （x）=ax 2+8x+3 （a＜0）．对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个 区间[0，l（a）]上，不等式|f （x）|≤5都成立．
问：a为何值时l（a）最大？求出这个最大的l（a）．证明你的结论．
答案
f（x）=a（x+
）2+3-4 a
．16 a
（1）当3-
＞5，即-8＜a＜0时，16 a
l（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，故l（a）=
．-8+ 64+8a 2a
（2）当3-
≤5，即a≤-8时，16 a
l（a）是方程ax2+8x+3=-5的较大根，故l（a）=
．-8- 64-32a 2a
综合以上，l（a）=
，(a≤-8)-8- 64-32a 2a
(-8＜a＜0-8+ 64+8a 2a
当a≤-8时，l（a）=
=-8+ 64-32a 2a
≤4
-24-2a
=4
-220
；1+ 5 2
当-8＜a＜0时，l（a）=
=-8+ 64+8a 2a
＜2
+416+2a
＜2 4
．1+ 5 2
所以a=-8时，l（a）取得最大值
．1+ 5 2