问题
解答题
已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜x2；
（2）求证：x1＜x0＜x2；
（3）当点M为（1，-1999）时，求整数x1，x2．
答案
（1）函数y=x2+px+q可化为y=（x+
）2+q-p 2
，p2 4
将M（x0，y0）代入得，y0=（x0+
）2+q-p 2
＜0，p2 4
∵y0＜0，
∴q-
＜0，即p2＞4q，p2 4
∵△=p2-4q，
∴△＞0，
∴抛物线必与x轴有两个不同的交点；
（2）设y=（x-x1）（x-x2），将x0代入，则y0=（x0-x1）（x0-x2）＜0，
∴（x0-x1）＞0且（x0-x2）＜0，或（x0-x1）＜0且（x0-x2）＞0，
∵x1＜x2，只能是前一种情况，
∴x1＜x0＜x2；
（3）∵x1+x2=-p，x1•x2=q，
∴M点代入方程，p和q用x1和x2代换整理得，
x1•x2-（x1+x2）+1=-1999，即（x1-1）（x2-1）=-1999，
又∵x1和x2是整数及x1＜x2，
∴x1=-1998，x2=2，或x1=0，x2=2000．