已知函数h（x），定义fk（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，

问题解答题

已知函数h（x），定义f_k（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，k∈Z（其中m＞0、n＞0是常数）叫阶梯函数的第k阶，m叫阶宽，n叫阶高．

（1）若h（x）=2^x，求当阶宽为2，阶高为3的第0阶和第k函数f₀（x）和f_k（x）的解析式；

（2）若h（x）=x²，设阶宽为2，阶高为3；是否存在正整数k，使得f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？

答案

（1）f₀（x）=h（x）=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=h（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．

（2）若h（x）=x²，则f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1

⇔（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，

整理得出x²-（k+1）x+1＜0．

当k=1时，x²-2x+1＜0无解，当k≥2时，x²-（k+1）x+1＜0，

得出

k+1-

(k+1)2-4

＜x＜

k+1+

(k+1)2-4

①

又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z ②

又根据

k+1+

(k+1)2-4

＜

k+1+

(k+1)2

=k+1＜2k，

①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．