问题 解答题

已知函数h(x),定义fk(x)=h(x-mk)+nk,x∈(mk,m+mk],k∈Z(其中m>0、n>0是常数)叫阶梯函数的第k阶,m叫阶宽,n叫阶高.

(1)若h(x)=2x,求当阶宽为2,阶高为3的第0阶和第k函数f0(x)和fk(x)的解析式;

(2)若h(x)=x2,设阶宽为2,阶高为3;是否存在正整数k,使得fk(x)<(1-3k)x+4k2+3k-1有解?

答案

(1)f0(x)=h(x)=2x,x∈(0,2];fk(x)=h(x-2k)+3k=2 x-2k+3k,x∈(2k,2k+2],k∈Z.

(2)若h(x)=x2,则fk(x)=(x-2k)2+3k,fk(x)<(1-3k)x+4k2+3k-1

⇔(x-2k)2+3k<(1-3k)x+4k2+3k-1,

整理得出x2-(k+1)x+1<0.

当k=1时,x2-2x+1<0无解,当k≥2时,x2-(k+1)x+1<0,

得出

k+1-
(k+1)2-4
2
<x<
k+1+
(k+1)2-4
2
     ①

又根据x∈(2k,2k+2],k∈Z           ②

又根据

k+1+
(k+1)2-4
2
k+1+
(k+1)2
2
=k+1<2k,

①②无公共部分,即不存在正整数k满足题意.

填空题
问答题 论述题