（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．

设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=1可得c=1，

a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，

可得a=1，b=-1，

∴f（x）=x²-x+1；

（2）g（x）=f（x）-ax²+1=（1-a）x²-x+2，

g（x）=0有一个正的零点⇔（1-a）x²-x+2=0有一个正根，

①当1-a=0即a=1，得x=2，符合题意；

②1-a≠0即a≠1时，△=1-8（1-a）=8a-7，

当8a-7=0，即a=

7

8

时，方程有等根x=4，符合题意，

当a＞

7

8

时，△＞0，只需两根x1x2＜0，即

2

1-a

＜0，

∴a＞1，

综上a的取值范围为[1，+∞）∪{

7

8

}；