问题 解答题
已知函数f(x)=|x-a|-
a
2
lnx
,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2
答案

(1)由题意,函数的定义域为(0,+∞),

当a≤0时,f(x)=|x-a|-

a
2
lnx=x-a-
a
2
lnx,f′(x)=1-
a
2x
>0

函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),…3分

当a>0时,f(x)=|x-a|-

a
2
lnx=
x-a-
a
2
lnx  ,x≥a
a-x-
a
2
lnx,  0<x<a
,…5分

若x≥a,f′(x)=1-

a
2x
=
2x-a
2x
>0,此时函数f(x)单调递增,

若x<a,f′(x)=-1-

a
2x
<0,此时函数f(x)单调递减,

综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞). …7分

(2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,

此时函数至多只有一个零点,不合题意;                      …8分

则必有a>0,此时函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞),

由题意,必须f(a)=-

a
2
lna<0,解得a>1,…10分

f(1)=a-1-

a
2
ln1=a-1>0,f(a)<0,

得x1∈(1,a),…12分

而f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna),

下面证明:a>1时,a-1-lna>0

设g(x)=x-1-lnx,x>1

g′(x)=1-

1
x
=
x-1
x
>0,

所以g(x)在x>1时递增,则g(x)>g(1)=0,

所以f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna)>0,

又f(a)<0,

所以x2∈(a,a2),

综上,1<x1<a<x2<a2.                     …16分

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