已知函数f(x)=|x-a|-
(1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2. |
(1)由题意,函数的定义域为(0,+∞),
当a≤0时,f(x)=|x-a|-
lnx=x-a-a 2
lnx,f′(x)=1-a 2
>0,a 2x
函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),…3分
当a>0时,f(x)=|x-a|-
lnx=a 2
,…5分x-a-
lnx ,x≥aa 2 a-x-
lnx, 0<x<aa 2
若x≥a,f′(x)=1-
=a 2x
>0,此时函数f(x)单调递增,2x-a 2x
若x<a,f′(x)=-1-
<0,此时函数f(x)单调递减,a 2x
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞). …7分
(2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,
此时函数至多只有一个零点,不合题意; …8分
则必有a>0,此时函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞),
由题意,必须f(a)=-
lna<0,解得a>1,…10分a 2
由f(1)=a-1-
ln1=a-1>0,f(a)<0,a 2
得x1∈(1,a),…12分
而f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna),
下面证明:a>1时,a-1-lna>0
设g(x)=x-1-lnx,x>1
则g′(x)=1-
=1 x
>0,x-1 x
所以g(x)在x>1时递增,则g(x)>g(1)=0,
所以f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna)>0,
又f(a)<0,
所以x2∈(a,a2),
综上,1<x1<a<x2<a2. …16分