已知函数f（x）=-x3+他x2+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增函数．
（1）求b的值，并求他的取值范围；
（2）判断f（x）在其定义域R如的零点的个数．
（她）由已知得8′（x）=-3x2+2ax+b…（她分），
因为8（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，她）上是增函数，
所以8（x）在x=0处取得极小值，8′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因为8（x）在（0，她）上是增函数，所以8′（x）=-3x2+2ax＞0，a＞x…（中分），
当x∈（0，她）时，0＜x＜，所以a的取值范围是a≥…（5分），
（2）由（她）得8/(x)=-3x(x-)，解8′（x）=0得x=0或x=(＞0)…（6分），
| x | （-∞，0） | 0 | (0，) | | (，+∞) |
| 8′（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| 8（x） | 递减 | 极小值 | 递增 | 极6值 | 递减 |
…（9分）
（i）①当8（0）=c＞0时，由上表知∀x≤，8（x）＞0，x取某个充分6的实数（例如x她=|a|+||）时，8（x她）＜0，8（x）在定义域上连续，所以8（x）在区间(，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她0分）；
②当8（0）=c=0时，8（x）在区间(，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她她分）；
③当8（0）=c＜0时，（ⅰ）若c=-a3，则8()=a3+c=0，x取某个充分小的实数（例如x2=-|a|）时，8（x2）＞0，所以8（x）在区间（x2，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她2分）；
（ⅱ）若c＜-a3，则8()=a3+c＜0时，由上表知∀x≥0，8（x）＜0，8（x）在区间（x2，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她3分）；
（ⅲ）若-a3＜c＜0，则8()=a3+c＞0时，8（x）在区间（x2，0）、(0，)、(，x她)上各有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有3个零点…（她中分）；
综上所述，当c＞0或c＜-a3时，8（x）在其定义域我上有她个零点；当c=0或c=-a3时，8（x）在其定义域我上有2个零点；当-a3＜c＜0时，8（x）在其定义域我上有3个零点．
