问题
解答题
已知函数f（x）=x2（x-3a）+
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值； （Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围． |
答案
当f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且f(0)=
，f(2a)=-4a3+1 2
．（6分）1 2
（Ⅰ）当a＞0时，2a＞0．
当x变化时，函数在（-∞，0）增函数，在（0，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增（8分）
∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值f(0)=
；在x=2a处，函数f（x）有极小值f(2a)=-4a3+1 2
．（10分）1 2
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须f(2a)=-4a3+
＜0．（12分）1 2
解得a＞
．∴当a∈(1 2
，+∞)时，函数y=f（x）有三个不同的零点．（14分）1 2