问题
解答题
已知函数f（x）=x2+bx（b∈R），g(x)=x+
（Ⅰ） 当a=b=1时，求H（x）； （Ⅱ） 当a=1时，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范围； （Ⅲ） 当a＞0时，方程f（g（x））+c=0，在（0，+∞）上有且只有一个实根，求证：b、c中至少有一个负数． |
答案
（I）当a=b=1时，f（x）=x2+x，g(x)=x+1 x
由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵f[g(x)]=f(x+
)=(x+1 x
)2+(x+1 x
)1 x
g[f（x）]=g（x2+x）=x2+x+1 x2+x
∴H(X)=(x+
)2+(x+1 x
)，x≥1或x＜01 x x2+x+
，0＜x≤11 x2+x
（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立
即x2+bx≥x+
在[2，+∞）恒成立1 x
∴b≥-x+1+
在x∈[2，+∞）恒成立1 x2
令h（x）=-x+1+
，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则h（x）max=h（2）=-1 x2 3 4
∴b≥-3 4
（III）假设b≥0，c≥0，a＞0
由于g(x)=x+
在（0，a x
]单调递减，在[a
， +∞)单调递增a
∴g(x)≥g(
)=2a
＞0a
∵c+f(g(x))=(x+
)2+b(x+a x
)+c在[2a x
，+∞）单调递增a
∴c+f[g(x)]≥f(2
)+c=4a+ba
+c＞0在（0，+∞）恒成立与f[g（x）]+c=0有根矛盾a
故假设错误即b，c至少有一个为非负数