问题
解答题
| 设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R) （Ⅰ）当b＞0时，判断函数fn（x）在（0，+∞）上的单调性； （Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
（Ⅲ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围． |
答案
（Ⅰ）∵fn(x)=xn+bx+c，
∴fn′(x)=nxn-1+b
∵b＞0，x＞0，n∈N+
∴fn′（x）＞0
∴函数fn（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得fn（x）=xn+x-1
∴fn′（x）=nxn-1+1＞0在(
，1)上恒成立，1 2
∴fn（x）=xn+x-1在(
，1)单调递增，1 2
∵fn（1）=1＞0，fn（
）=(1 2
)n-1 2
＜0，1 2
∴fn（x）在区间(
，1)内存在唯一的零点；1 2
（Ⅲ）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-
≤-1或-b 2
≥1，此时只需满足|f2（1）-f2（-1）|=|2b|≤4b 2
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-
≤0，此时只需满足f2（1）-f2（-b 2
）≤4，即b2+4b-12≤0b 2
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-
＜1，此时只需满足f2（-1）-f2（-b 2
）≤4，即b2-4b-12≤0b 2
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．