解（1）a=2时，f（x）=lnx+x-x²，f/(x)=

1

x

+1-2x…（1分），

解f′（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）…（2分），

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减少…（3分），

所以f（x）的最大值为f（1）=0…（4分）

（2）F(x)=lnx+

a

x

（0＜x≤3），k=F/(x0)=

1

x0

-

a

x02

（0＜x₀≤3）…（6分）

由k≤

1

2

恒成立得a≥x0-

1

2

x02=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

恒成立…（7分）

因为-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，等号当且仅当x₀=1时成立…（8分），

所以a≥

1

2

…（9分）

（3）a=0时，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，

设g（x）=x²-mx-mlnx，

解g/(x)=2x-m-

m

x

=0…（10分），得x1=

m- m2+8m

4

（＜0舍去），x2=

m+ m2+8m

4

，

类似（1）的讨论知，g（x）在x∈（0，x₂）单调增加，

在x∈（x₂，+∞）单调减少，最大值为g（x₂）…（11分），

因为mf（x）=x²有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x₂）=0…（12分），

由

g′ (x2)=0 g(x2)=0

得x₂+2lnx₂-1=0，

因为h（x）=x+lnx-1单调递增，且h（1）=0，

所以x₂=1…（13分），

从而m=1…（14分）．