问题
解答题
已知函数f（x）=-
（1）求a的值； （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =
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答案
（1）因为h（x）=
x2-2x+logax （x＞0），1 2
所以h′（x）=x-2+
=1 xlna
．x2lna-2xlna+1 xlna
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以
≥0在区间（0，+∞）上恒成立．x2lna-2xlna+1 xlna
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x2lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x2lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x0）=
，于是1 x0
=1 x0
，x0=y2-y1 x2-x1 x2-x1 lnx2-lnx1
以下证明x1＜
（※）x2-x1 lnx2-lnx1
（※）等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0．
令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x
r′（x）=lnx2-lnx，在（0，x2]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2]上为增函数．
当x1＜x2时，r（x1）＜r（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，
从而x0＞x1得到证明．
对于x2＞
同理可证，所以x1＜x0＜x2．x2-x1 lnx2-lnx1