请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c

问题解答题

请阅读下面材料：
若A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=

x1+x2

为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴

y0=a

+bx1+c①

y0=a

+bx2+c②

且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴x1+x2=-

又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-

，
∴直线x=

x1+x2

为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=

x1+x2

为该抛物线的对称轴，那么自变量取x₁，x₂时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x²+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

答案

（1）结论：自变量取x₁，x₂时函数值相等．

证明：∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y=ax²+bx+c上不同的两点，

由题意得

y1=ax12+bx1+c ①

y2=ax22+bx2+c ②

且x₁≠x₂

①-②，得y₁-y₂=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]．

∵直线x=

x1+x2

是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴，

∴x=

x1+x2

．

∴x1+x2=-

．

∴y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，即y₁=y₂；

（2）∵二次函数y=x²+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，

∴由阅读材料可知二次函数y=x²+bx-1的对称轴为直线x=

2011

．

∴-

2011

，b=-2011．

∴二次函数的解析式为y=x²-2011x-1．

∵

2011

2012+(-1)

，

由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．

∵当x=-1时的函数值为（-1）²-2011×（-1）-1=2011，

∴当x=2012时的函数值为2011．