问题
解答题
已知函数f（x）=2x2-10x，（x∈R），问是否存在自然数m，使得方程f(x)+
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答案
依题意，问题等价于方程2x3-10x2+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，
令h（x）=2x3-10x2+37，
h′（x）=6x2-20x=6x（x-
），10 3
当x∈（0，
）时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，10 3
）上单调递减；10 3
当x∈（
，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在区间（10 3
，+∞）上单调递增；…4分10 3
由于h（3）=1＞0，h（
）=-10 3
＜0，h（4）=5＞0，…7分1 27
所以方程h（x）=0在（3，
），（10 3
，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+∞）内没有实数根…10分10 3
所以存在唯一自然数m=3使得方程f（x）+
=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解．…12分37 x
