问题 解答题

若x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.

答案

(1)因为f(x)=

a
1+x
+2x-10,

所以f(3)=

a
4
+6-10=0,因此a=16…2分

故 f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞),

f(x)=

2(x2-4x+3)
1+x
…4分

当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0,

当x∈(1,3)时,f′(x)<0,

所以f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+∞),f(x)的单调减区间是(1,3)…6分

(2)由(1)知,f(x)在(-1,1)内单调增加,

在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,

所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21,…8分

所以在f(x)的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+∞),

直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点,

当且仅当f(3)<b<f(1).

因此b的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9).…12分.

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题