问题
解答题
若x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
答案
(1)因为f′(x)=
+2x-10,a 1+x
所以f′(3)=
+6-10=0,因此a=16…2分a 4
故 f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞),
f′(x)=
…4分2(x2-4x+3) 1+x
当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0,
当x∈(1,3)时,f′(x)<0,
所以f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+∞),f(x)的单调减区间是(1,3)…6分
(2)由(1)知,f(x)在(-1,1)内单调增加,
在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,
所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21,…8分
所以在f(x)的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+∞),
直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点,
当且仅当f(3)<b<f(1).
因此b的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9).…12分.