问题
解答题
已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（3）若函数y=f（x）有零点，求实数a的取值范围．
答案
（1）f′(x)=
-a…（2分）f（1）=-a+1，kl=f'（1）=1-a，1 x
所以切线l的方程为y-f（1）=kl（x-1），即y=（1-a）x．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，
则F′(x)=
-1 =1 x
(1-x) ，解F′(x)=0得x=1．1 x
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| F'（x） | + | 0 | - |
| F（x） | ↗ | 最大值 | ↘ |
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方． …（9分）
（3）y=f（x）有零点，即f（x）=lnx-ax+1=0有解，a=
．lnx+1 x
令 g(x)=
，g′(x)=(lnx+1 x
)′=lnx+1 x
=-1-(lnx+1) x2
，lnx x2
解g'（x）=0得x=1．…（11分）
则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1，
所以a≤1．…（13分）