问题 解答题
已知复数z=(2+i)-
2x
1-i
(其中i是虚数单位,x∈R).
(Ⅰ)若复数z是纯虚数,求x的值;
(Ⅱ)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围.
答案

(Ⅰ)依题意得:z=(2+i)-

2x
1-i
=(2-x)+(1-x)i,

又z是纯虚数,所以

2-x=0
1-x≠0
,解得x=2;

(Ⅱ)因为f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,

联立y=f(x)与y=g(x),得

y=2x2-6x+5
y=-mx+3
,消去y得2x2+(m-6)x+2=0,

又y=f(x)与y=g(x)的图象有公共点,

所以△≥0,即m2-12m+20≥0,解得m≤2或m≥10.

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