问题
问答题
(Ⅰ)设
，用可逆线性变换将f化为标准形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵．
(Ⅱ)设
，求可逆阵D，使A=DTD．
答案
参考答案：(Ⅰ)将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得
[*]
令[*]
即[*]
得f的标准形为 [*]
所作的可逆线性变换为X=CY，其中[*]
A的对应二次型的标准形为[*]，正惯性指数p=3=r=n，故知A是正定阵．(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定阵．)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知[*]是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)=XTAX．
由(Ⅰ)知令X=CY，其中[*]，得f=XTAX=YTCTACY=YTEY，
故CTAC=E，A=(C-1)TC-1=DTD，其中D=C-1．
由
[*]
故
[*]