设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)e

问题问答题

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，f’(0)存在且等于a，a≠0。证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．

答案

参考答案：以y=0代入定义式，有f(x)=f(x)+f(0)e^x，所以f(0)=0．于是
[*]
[*]
所以对任意x，f’(x)存在，且f’(x)=f(x)+ae^x．解之，得
f(x)=e^x(∫ae^x·e^-xdx+C)=e^x(ax+C)．
由f(0)=0，有C=0．从而f(x)=axe^x．