（Ⅰ）当a=

1

3

时，f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

若使不等式f′(x)＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，

即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范围为：（0，1）

（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b

又在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，∴2a+3b=2

又函数f（x）为奇函数，∴b=0，∴a=1，

∴f（x）=x³-x

（ii）求导函数可得f′（x）=3x²-1

令f′（x）＞0，可得x＜-

3

3

或x＞

3

3

，令f′（x）＜0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

∴函数的单调增区间为（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞），减区间为(-

3

3

，

3

3

)．

当t∈(-1，-

3

3

)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使f(-1)≤-

1

4

t≤f(t)，∴t∈(-

3

2

，-

3

3

)

当t∈(-

3

3

，0)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使f(-1)=-

1

4

t或-

1

4

t=f(-

3

3

)，此时无解

当t∈[0，

3

3

]时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(

3

3

)≤-

1

4

t＜0，∴t∈(0，

3

3

]

当t∈[

3

3

，1)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(t)≤-

1

4

t＜0，∴t∈(

3

3

，

3

2

]

当t∈[1，

2 3

3

)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，此时无解

当t∈[

2 3

3

，+∞)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(

3

3

)或f(-

3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，∴t∈(

2 3

3

，

8 3

9

]

综上，可知实数t的取值范围为：(-

3

2

，-

3

3

)∪(0，

3

2

]∪(

2 3

3

，

8 3

9

]