问题
填空题
| 设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合： （1）方程f（x）-1=0有实数解； （2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数： ①f（x）=x+sinx； ②f(x)=x+tanx，x∈(-
③f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞）； ④f（x）=x+2x． 其中是集合M中的元素的有______．（只需填写函数的序号） |
答案
①∵f（x）=x+sinx，∴由f（x）-1=0，得x-1+sinx=0
分别做出函数y=x-1和y=sinx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1-cosx，-1≤cosx≤1，
∴0≤f（x）≤2，即条件（2）不成立．
故①不是集合M中的元素．
②∵f(x)=x+tanx，x∈(-
，π 2
)，π 2
∴由f（x）-1=0，得x+tanx-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=tanx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+
，∴条件（2）不成立．1 cos2x
故②不是集合M中的元素．
③∵f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞），
∴由f（x）-1=0，得x+log3x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=log3x的图象知，二者有两个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f′(x)=1+
，∴条件（2）成立．1 xln3
故③是集合M中的元素．
④∵f（x）=x+2x．∴由f（x）-1=0，得x+2x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=2x的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+2xln2，∴条件（2）不成立．
故④不是集合M中的元素．
故答案为③．