问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值； （Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根； （Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x1）和（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，又x2-x1＞l，且x1＞a，试比较a2+pa+q与x1的大小． |
答案
（I）对函数f（x）求导数，得f'（x）=x2+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，则1+3=-(p-1) 1×3=q
解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=
x3-2x2+3x，设g（x）=f（x）-1=1 3
x3-2x2+3x-11 3
则g'（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g'（x）＞0；当1＜x＜3时，g'（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=
＞0，g（3）=-1＜0，1 3
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=
＞0，可得g（x）=0在区间（0，1）、（1，3）、（3，4）上分别有一个零点1 3
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x1、x2为函数的两个极值点．
即得x1、x2为方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x1+x2=1-p，x1x2=q
由已知x2＞x1＞a，得x1-a＞0且x2-a＞0
而x2+（p-1）x+q=（x-x1）（x-x2）
则a2+pa+q-a=a2+（p-1）a+q=（a-x1）（a-x2）＞0
∴a2+pa+q-x1=a2+（p-1）a+q+a-x1=（a-x1）（a+1-x2）
∵x2-x1＞l，x1＞a，得x2＞l+x1＞a+l，a+1-x2＜0
∴a2+pa+q-x1＞0，可得a2+pa+q＞x1