已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-2，6）时，其值为正，而

问题解答题

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负．
（I）求实数a，b的值及函数f（x）的解析式；
（II）设F（x）=-

f（x）+4x+12k，问k取何值时，方程F（x）=0有正根？

答案

（Ⅰ）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，

∴

-a=-2+6=4

2b-a3

=-2×6=-12

，解得

a=-4

b=-8

．

∴此时a=-4，b=-8．

f（x）=-4x²+16x+48．

（Ⅱ）F（x）=-

（-4x²+16x+48）+4x+12k=kx²+4（1-k）x，

当k=0时，F（x）=4x，不合题意；

当k≠0时，F（x）=0的一根为

4(k-1)

，

则有k（k-1）＞0，解得k＞1或k＜0．

故当k＞1或k＜0时，方程F（x）=0有正根．