（Ⅰ）f₂（x）=x²，则f₂′（x）=2x，

∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，又ξ₁≠ξ₂，

∴ξ2+ξ1=2ξ1+

2

λ

(ξ2-ξ1)⇒λ=2．…（4分）

（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，

则y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）

令y'=0，得x1=0，x 2=

2n-1

3n-1

，x3=1，且x₁＜x₂＜x₃，

当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	(0， 2n-1 3n-1 )	2n-1 3n-1	( 2n-1 3n-1 ，1)	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值		极小值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；当x=1时，y_极小=0．…（7分）

当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	(0， 2n-1 3n-1 )	2n-1 3n-1	( 2n-1 3n-1 ，1)	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；无极小值．…（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，

所以方程为

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，…（12分）∴x=

n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)

(n+1)(2n-1)

=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，…（13分）

又x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，而对于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二项式定理可证），∴x＜1．…（14分）

综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．…（15分）