问题
解答题
已知集合A={x||x-a|＜ax，a＞0}，函数f（x）=sinπx-cosπx．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求集合A；
（3）如果函数f（x）是A上的单调递增函数，求a的取值范围．
答案
（1）∵函数f（x）=sinπx-cosπx=
sin（πx-2
），令2kπ-π 4
≤πx-π 2
≤2kπ+π 4
，k∈z，π 2
求得2k-
≤x≤2k+1 4
，故函数的增区间为[2k-3 4
，2k+1 4
]，k∈z．3 4
（2）由于|x-a|＜ax（a＞0），即
，即 x＞0 -ax＜x-a＜ax
．x＞0 x＞ a 1+a (1-a)x＜a
故当a＞1时，解得x＞
；当a=1时，解得x＞a 1+a
；当0＜a＜1时，解得a 1+a
x＜a 1+a
．a 1-a
综上可得，当a≥1时，A=（
，+∞）；当0＜a＜1时，A=（a 1+a
，a 1+a
）．a 1-a
（3）当a≥1时，A=（
，+∞），显然函数f（x）=a 1+a
sin（πx-2
） 在A上不是单调递增函数．π 4
当0＜a＜1时，A=（
，a 1+a
），要使函数f（x）=a 1-a
sin（πx-2
） 在A上是单调增函数，π 4
需（
，a 1+a
）⊆[-a 1-a
，1 4
]，即 3 4
，解得0＜a≤0＜a＜1
≤a 1-a 3 4
，即a的范围为（0，3 7
]．3 7
